Fondamenti della meccanica atomica
Ora moltiplichiamo ambo i membri per
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da cui, essendo I>0, si trae la (66).
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Sostituendo l'espressione (86) nell'equazione (85), e uguagliando a zero i coefficienti delle singole potenze di , si determinano formalmente i
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indicare collettivamente gli elettroni, i protoni, i neutroni, i nuclei, etc., avvertendo una volta per tutte che la parola non ha il significato ordinario.
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e py entro i limiti
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(v. § 16 parte I),
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(regione I),
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Sono questi dunque i livelli energetici dell'oscillatore.
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(regioni I e III
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(i coefficienti della seconda sommatoria sono i coniugati di quelli della prima, cosicchè la y risulta reale): si verifica facilmente che le serie
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dall'altra cambiando il segno a tutti i termini dispari: esse sono (scrivendone solo i primi due termini, e rappresentando coi puntini i successivi fino al k
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dove ,... sono funzioni di x che si determinano formalmente sostituendo la Y nella (294) in luogo di y ed uguagliando nei due membri i coefficienti
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Questa formula non contiene le autofunzioni, ma soltanto la E (contenuta in p): essa può dunque servire a determinare (approssimativamente) i diversi
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quindi i momenti coniugati a r, sono rispettivamente
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, nel senso che i valori numerici che da essa si ricavano per le varie quantità aventi significato fisico (energia, momento angolare, ecc.) sono
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ed i termini spettrali risultano
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produce allora l'effetto Zeeman. ), e perciò i livelli energetici, e quindi i termini spettroscopici, costituiranno una serie a due indici anzichè ad uno
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I valori estremi corrispondono evidentemente, nel modello intuitivo, a j antiparallelo, o parallelo, al campo. Naturalmente, se j è intero, anche i
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dove i coefficienti dipendono da .
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dove con e si sono indicati i coefficienti
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i simboli ecc.: così pure i simboli di derivata seconda, terza, ecc.
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Invece i due o. l.
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: i suoi autovalori rappresentano (2) Questi autovalori risultano sempre reali, perchè l'operatore è hermitiano. i possibili risultati di una misura di
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Se in ciascun sistema dell'insieme la misura dell'osservabile G può dare i risultati Gr con le rispettive probabilità Pr, il valore medio di tutti i
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La meccanica quantistica è sorta per inquadrare i cosidetti fenomeni elementari, cioè quelli che riguardano una sola particella elementare o un
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Questa equazione non è altro che la (223') del § 46, p. II, cioè l'equazione differenziale delle funzioni sferiche ( corrisponde a ), e i suoi
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Passiamo ora al calcolo degli autovalori in seconda approssimazione. Per ricavare dalla (173) in seconda approssimazione è necessario inserirvi i
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reali (e per ora le supporremo distinte): si noti poi che i p sistemi di equazioni che si ottengono da (185) dando ad i i p valori di cui è suscettibile
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) per k = i. Difatti, indicando con , i termini del secondo ordine, e trascurando quelli d'ordine superiore, cioè ponendo , la (209) dà, per k = i,
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Confrontando con la (221) e notando che le sono i valori delle per t = 0, si vede che i coefficienti dello sviluppo (226) (che sono da riguardarsi
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Dall'istante in poi i coefficienti tornano a diventare costanti, ma anzichè i valori (229) hanno i valori ottenuti dalle formule precedenti
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dove R è la costante di Rydberg ed a un'altra costante: tenendo fissa a e dando ad n tutti i valori interi da un certo valore in poi, si ottiene una
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dove i momenti pk sono dati da (v. § 31):
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In questa sommatoria doppia, i sei termini in cui si possono riunire due a due nel modo seguente. Si considerino p. es. i due termini : in virtù
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Queste formule, introducendo il vettore I di componenti
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ovvero, adottando le matrici (267) ed eseguendo i prodotti:
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Si osservi che i denominatori delle (296) sono dell'ordine di , e quindi, se come è d'ordinario, e risultano piccole rispetto ad A, come del resto si
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(1) Ricordiamo che, in tutto questo capitolo, si indicano con lettere greche gli indici che assumono i valori 1, 2, 3, 4, e con lettere latine quelli
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lasciando i coefficienti per ora indeterminati: più brevemente scriveremo, indicando con S la matrice i cui elementi sono
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dove i coefficienti sono vincolati dalle relazioni
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Considereremo dapprima i sistemi con due sole particelle uguali (come è, p. es., l'atomo di elio); poi estenderemo sommariamente i ragionamenti a
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dove i = l, 2, ed rappresenta, ora, solo il gruppo dei tre numeri quantici orbitali dell'elettrone i-esimo, mentre il numero quantico di spin, , è
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dove i coefficienti sono ottenuti (v. § 39) mediante i quattro sistemi di equazioni lineari:
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Se si svolgessero i calcoli di questo § prendendo le funzioni simmetriche , invece delle , si troverebbe, con procedimento identico, che, fissati ed
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(essendo lo spin risultante nullo) non si può avere che un livello semplice. Se poi i due elettroni sono «nella stessa orbita», cioè se i loro numeri
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Spettri analoghi a quello dell'elio sono forniti, come è naturale, dagli ioni , i quali hanno due elettroni come l'atomo di He, e differiscono da
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Di solito, i potenziali di risonanza, eccitazione e ionizzazione
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Le misure della lunghezza d'onda λA (in Ångström) in funzione della tensione acceleratrice Vv (in volt) fatte con i vari metodi descritti hanno
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Si dice che un'equazione differenziale del tipo (1) è in forma autoaggiunta se fra i coefficienti A(x) e B(x) passa la relazione B = A', cosicchè i
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i tre coefficienti A, B, C divengono rispettivamente
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Accademia della crusca
